# 10 傅里叶变换与 Poisson 求和公式

整理日期：2026-10-16。  
前置笔记：[02 基本区域、格行列式与正交化](/knowledge/fundamental-region-and-orthogonalization/)、[07 对偶格与对偶基](/knowledge/dual-lattices/)、[09 高斯函数与离散高斯分布](/knowledge/gaussian-functions-and-discrete-gaussians/)。

设 $\Lambda=\mathcal L(B)\subseteq\mathbb R^n$ 为满秩格，$\Lambda^*=B^{-\mathsf T}\mathbb Z^n$。

以下可取 $f$ 为 Schwartz 函数，即函数及其各阶导数都比任意负幂更快地衰减。高斯函数满足这一条件，后面的求和、积分和傅里叶展开均可使用。

## 1. 傅里叶变换

采用如下约定：

$$
\boxed{
\widehat f(y)
=
\int_{\mathbb R^n}
f(x)e^{-2\pi i\langle x,y\rangle}\,dx,
\qquad y\in\mathbb R^n.
}
$$

其中 $i^2=-1$，$y$ 表示频率。特别地，

$$
\widehat f(0)=\int_{\mathbb R^n}f(x)\,dx,
$$

即零频值等于函数的总积分。

后面用到两个性质：

$$
g(x)=f(x-c)
\quad\Longrightarrow\quad
\widehat g(y)
=
e^{-2\pi i\langle c,y\rangle}\widehat f(y);
$$

$$
h(x)=f(x/s),\quad s>0
\quad\Longrightarrow\quad
\widehat h(y)=s^n\widehat f(sy).
$$

平移引入相位因子；空间中的伸缩对应频率尺度的反向变化。上述约定与性质见 [Regev《Lecture 9: Fourier Transform》，Fall 2004，PDF 第 3 页，Definition 3 与 Theorem 3](https://cims.nyu.edu/~regev/teaching/lattices_fall_2004/ln/FourierTransform.pdf)。

## 2. 高斯函数的傅里叶变换

沿用第九篇的记号：

$$
\rho(x)=e^{-\pi\|x\|^2},
\qquad
\rho_s(x)=e^{-\pi\|x\|^2/s^2}.
$$

高斯函数的一个关键性质是

$$
\widehat\rho=\rho.
$$

一维情形可以用简短推导说明：对 $\widehat\rho(y)$ 求导，再分部积分，得到

$$
\frac{d}{dy}\widehat\rho(y)
=
-2\pi y\,\widehat\rho(y),
\qquad
\widehat\rho(0)=1.
$$

因此 $\widehat\rho(y)=e^{-\pi y^2}$。利用各坐标的乘积分解，可以推广到 $n$ 维。

再应用伸缩性质，得到

$$
\boxed{
\widehat{\rho_s}(y)
=
s^n e^{-\pi s^2\|y\|^2}
=
s^n\rho_{1/s}(y).
}
$$

所以，高斯函数经过傅里叶变换后仍是高斯函数，尺度由 $s$ 变为 $1/s$，并带有系数 $s^n$。该结论见 [Regev，PDF 第 3 页，Example 3](https://cims.nyu.edu/~regev/teaching/lattices_fall_2004/ln/FourierTransform.pdf)。

对于第九篇的归一化密度 $f_{s,0}=\rho_s/s^n$，相应地有 $\widehat f_{s,0}=\rho_{1/s}$。

## 3. 为什么频率落在对偶格上

考虑一个基本振荡函数

$$
\chi_y(t)=e^{2\pi i\langle t,y\rangle}.
$$

要求它沿任意格向量 $v\in\Lambda$ 平移后保持不变，即

$$
\chi_y(t+v)=\chi_y(t),
$$

等价于

$$
e^{2\pi i\langle v,y\rangle}=1
\quad\Longleftrightarrow\quad
\langle v,y\rangle\in\mathbb Z.
$$

这个条件对所有 $v\in\Lambda$ 成立，恰好意味着 $y\in\Lambda^*$。

因此，**与格周期相容的频率，正好组成对偶格。**

对于一般函数 $f$，其傅里叶变换仍定义在整个 $\mathbb R^n$ 上；这里的离散频率结构来自函数的格周期性。

## 4. Poisson 求和公式

对满秩格 $\Lambda$，Poisson 求和公式为

$$
\boxed{
\sum_{x\in\Lambda}f(x)
=
\frac{1}{\det(\Lambda)}
\sum_{y\in\Lambda^*}\widehat f(y).
}
$$

它把原格上的函数值求和，转化为对偶格上的傅里叶变换值求和。系数也可写为
$\det(\Lambda^*)=1/\det(\Lambda)$。见 [Micciancio《The Gaussians Distribution》，Fall 2019，§4，PDF 第 7–8 页，Theorem 5 与 Corollary 6](https://cseweb.ucsd.edu/classes/fa19/cse206A-a/LecGaussian.pdf)。

证明的关键是将 $f$ 周期化：

$$
F(t)=\sum_{x\in\Lambda}f(t+x).
$$

此时 $F(t+v)=F(t)$，所以它的傅里叶级数以 $\Lambda^*$ 为频率集合。对 $y\in\Lambda^*$，记对应系数为 $a_y$，则

$$
\begin{aligned}
a_y
&=
\frac{1}{\det(\Lambda)}
\int_{\mathcal P(B)}
F(t)e^{-2\pi i\langle t,y\rangle}\,dt\\
&=
\frac{1}{\det(\Lambda)}
\int_{\mathbb R^n}
f(u)e^{-2\pi i\langle u,y\rangle}\,du\\
&=
\frac{\widehat f(y)}{\det(\Lambda)}.
\end{aligned}
$$

第二步使用了两个事实：基本区域的格平移覆盖整个空间；对偶条件保证平移格向量时相位不变。

于是

$$
F(t)
=
\frac{1}{\det(\Lambda)}
\sum_{y\in\Lambda^*}
\widehat f(y)e^{2\pi i\langle t,y\rangle}.
$$

令 $t=0$，便得到 Poisson 求和公式。

## 5. 应用于格上的高斯总质量

将 $f=\rho_s$ 代入，得到

$$
\boxed{
\rho_s(\Lambda)
=
\frac{s^n}{\det(\Lambda)}
\rho_{1/s}(\Lambda^*).
}
$$

这里 $\rho_s(A)=\sum_{x\in A}\rho_s(x)$。将对偶格中的零向量单独取出，可写成

$$
\rho_s(\Lambda)
=
\frac{s^n}{\det(\Lambda)}
\left(
1+
\sum_{\substack{y\in\Lambda^*\\y\ne0}}
e^{-\pi s^2\|y\|^2}
\right).
$$

这是一个精确等式。零频项贡献 $s^n/\det(\Lambda)$，其余贡献由非零对偶向量控制。

当非零项的总和足够小时，就有

$$
\rho_s(\Lambda)\approx\frac{s^n}{\det(\Lambda)}.
$$

这个主项也符合体积直觉：高斯函数的总积分为 $s^n$，格点的平均密度为 $1/\det(\Lambda)$。

## 6. 平移中心与下一篇的联系

第九篇定义了 $\rho_{s,c}(x)=\rho_s(x-c)$。利用平移性质，

$$
\rho_{s,c}(\Lambda)
=
\frac{s^n}{\det(\Lambda)}
\sum_{y\in\Lambda^*}
\rho_{1/s}(y)e^{-2\pi i\langle c,y\rangle}.
$$

去掉零频项，再利用相位因子的模为 $1$，得到

$$
\boxed{
\left|
\frac{\det(\Lambda)}{s^n}\rho_{s,c}(\Lambda)-1
\right|
\le
\rho_{1/s}\!\left(\Lambda^*\setminus\{0\}\right).
}
$$

右侧与中心 $c$ 无关。因此，只要它不超过 $\varepsilon$，所有中心对应的高斯总质量相对于 $s^n/\det(\Lambda)$ 的误差都不超过 $\varepsilon$。

这种展开与估计见 [Regev 的最坏情况到平均情况归约讲义，§2，PDF 第 3–4 页，Lemma 5 的证明](https://cims.nyu.edu/~regev/teaching/lattices_fall_2004/ln/averagecase.pdf)。

下一篇将通过**平滑参数**描述：为了让非零对偶向量的高斯总质量足够小，尺度 $s$ 需要达到多大。

## 引用此笔记

- [00 概览与阅读路线](/knowledge/lattices-overview/)
- [11 平滑参数与格上的高斯质量](/knowledge/smoothing-parameter-and-gaussian-mass/)