# 09 高斯函数与离散高斯分布

整理日期：2026-10-16。  
前置笔记：[01 格与格基](/knowledge/lattices-and-bases/)、[02 基本区域、格行列式与正交化](/knowledge/fundamental-region-and-orthogonalization/)。

设 $\Lambda\subseteq\mathbb R^n$ 是满秩格，使用欧氏范数。

此前主要讨论格点的位置和长度。现在给每个格点赋予随距离衰减的权重，再将权重归一化，得到格上的概率分布。

## 1. 高斯函数与尺度参数

给定尺度参数 $s>0$ 和中心 $c\in\mathbb R^n$，定义高斯权重

$$
\boxed{
\rho_{s,c}(x)
=
\exp\left(-\pi\frac{\|x-c\|^2}{s^2}\right).
}
$$

常用简记为

$$
\rho_s(x)=\rho_{s,0}(x),
\qquad
\rho(x)=\rho_1(x).
$$

中心处的权重为 $1$。距离中心越远，权重越小；$s$ 越大，权重随距离的衰减越慢。

这里沿用 Regev 的尺度约定，并加入中心平移。零中心的 $\rho_s$ 记号见 [Regev《Lecture 9: Fourier Transform》，Fall 2004，PDF 第 3 页，Example 3](https://cims.nyu.edu/~regev/teaching/lattices_fall_2004/ln/FourierTransform.pdf)。

## 2. 连续高斯分布与标准差

高斯函数满足

$$
\int_{\mathbb R^n}\rho_{s,c}(x)\,dx=s^n.
$$

因此，对它进行归一化，得到连续概率密度

$$
\boxed{
f_{s,c}(x)
=
\frac{1}{s^n}
\exp\left(-\pi\frac{\|x-c\|^2}{s^2}\right).
}
$$

零中心时的归一化形式见 [Regev 的最坏情况到平均情况归约讲义，§2，PDF 第 2 页](https://cims.nyu.edu/~regev/teaching/lattices_fall_2004/ln/averagecase.pdf)；平移中心不改变积分。

与通常的正态分布记号比较可得

$$
X\sim
\mathcal N\left(c,\frac{s^2}{2\pi}I_n\right).
$$

所以，**每个坐标的标准差**为

$$
\boxed{\sigma=\frac{s}{\sqrt{2\pi}}.}
$$

这个换算可以直接通过比较指数中的 $\pi/s^2$ 与 $1/(2\sigma^2)$ 得到。阅读不同文献时，需要先核对作者采用的是尺度参数 $s$，还是标准差 $\sigma$。

## 3. 格上的离散高斯分布

将高斯权重限制在格点上，定义其总质量

$$
\rho_{s,c}(\Lambda)
=
\sum_{y\in\Lambda}
\exp\left(-\pi\frac{\|y-c\|^2}{s^2}\right).
$$

这个和是有限的正数。格上的离散高斯分布记为 $D_{\Lambda,s,c}$，其概率为

$$
\boxed{
\Pr_{X\sim D_{\Lambda,s,c}}[X=x]
=
\frac{\rho_{s,c}(x)}
     {\rho_{s,c}(\Lambda)},
\qquad x\in\Lambda.
}
$$

格外点的概率为 $0$。当 $c=0$ 时，简记为 $D_{\Lambda,s}$。

这里的关键是：**连续分布通过积分归一化，离散分布通过格点求和归一化。** 分母 $\rho_{s,c}(\Lambda)$ 取决于格、尺度和中心，通常不能替换成 $s^n$。

零中心、单位尺度的定义见 [Micciancio《The Gaussians Distribution》，Fall 2019，PDF 第 7 页，Definition 4](https://cseweb.ucsd.edu/classes/fa19/cse206A-a/LecGaussian.pdf)；上式按相同方式加入尺度和中心。

## 4. 中心、平移与几个必要的区分

由定义可以直接得到：

- **支撑集合由格决定。** 改变 $c$ 会改变各格点的概率，输出仍然属于 $\Lambda$。
- **$c$ 是权重中心，一般不等于离散分布的均值。** 当 $c=0$ 时，由 $x$ 与 $-x$ 的对称性，有 $\mathbb E[X]=0$；更一般地，$c\in\Lambda$ 时有 $\mathbb E[X]=c$。
- **连续分布的标准差公式不能直接套用于离散分布。** 离散高斯的各坐标方差还受到格点分布和中心位置的影响。

把中心平移到原点时，支撑集合也会相应平移：

$$
\rho_{s,c}(\Lambda)=\rho_s(\Lambda-c),
\qquad
\Lambda-c=\{x-c:x\in\Lambda\}.
$$

用同样的归一化方式定义平移格上的离散高斯，则

$$
X\sim D_{\Lambda,s,c}
\quad\Longrightarrow\quad
X-c\sim D_{\Lambda-c,s}.
$$

还需要区分离散高斯与“连续高斯取整”。以整数格为例，连续样本取整到整数 $k$ 的概率，是密度在区间 $[k-\tfrac12,k+\tfrac12)$ 上的积分；离散高斯则按整数点 $k$ 处的高斯权重赋予概率，两者通常不同。

## 5. 一个一维例子

取

$$
\Lambda=\mathbb Z,\qquad c=0,\qquad s=1.
$$

则

$$
\Pr[X=k]
=
\frac{e^{-\pi k^2}}
{\displaystyle\sum_{j\in\mathbb Z}e^{-\pi j^2}}.
$$

归一化因子为

$$
\rho_1(\mathbb Z)
=
1+2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}+\cdots
\approx1.08643.
$$

由此算得

$$
\Pr[X=0]\approx0.92044,
$$

$$
\Pr[X=1]=\Pr[X=-1]\approx0.03978.
$$

这个例子中，大部分概率集中在 $0$ 和相邻整数。增大 $s$ 后，较远整数相对于中心的权重上升，分布随之变宽。

## 6. 与后续内容的联系

离散高斯由 $\Lambda,s,c$ 决定，与选择哪组格基无关。定义目标分布之后，如何高效采样还需要单独的算法与条件。

接下来关注的量是格上的高斯总质量，例如

$$
\rho_s(\Lambda)=\sum_{x\in\Lambda}e^{-\pi\|x\|^2/s^2}.
$$

下一篇通过傅里叶变换和 Poisson 求和公式，将原格上的这类求和与对偶格联系起来；随后再用平滑参数描述高斯尺度足够大时的行为。

## 引用此笔记

- [00 概览与阅读路线](/knowledge/lattices-overview/)
- [10 傅里叶变换与 Poisson 求和公式](/knowledge/fourier-transform-and-poisson-summation/)
- [11 平滑参数与格上的高斯质量](/knowledge/smoothing-parameter-and-gaussian-mass/)
- [14 LWE 问题与带噪线性方程](/knowledge/lwe-and-noisy-linear-equations/)
- [15 高斯启发式与随机球面模型](/knowledge/gaussian-heuristic-and-random-spheres/)