# 11 平滑参数与格上的高斯质量

整理日期：2026-10-16。  
前置笔记：[09 高斯函数与离散高斯分布](/knowledge/gaussian-functions-and-discrete-gaussians/)、[10 傅里叶变换与 Poisson 求和公式](/knowledge/fourier-transform-and-poisson-summation/)。

设 $\Lambda=\mathcal L(B)\subseteq\mathbb R^n$ 为满秩格，使用欧氏范数。本文取 $0<\varepsilon<1$，沿用高斯函数记号

$$
\rho_{s,c}(x)=e^{-\pi\|x-c\|^2/s^2},
\qquad
\rho_s=\rho_{s,0}.
$$

## 1. 平滑参数的定义

格 $\Lambda$ 的 **$\varepsilon$-平滑参数**定义为

$$
\boxed{
\eta_\varepsilon(\Lambda)
=
\min\left\{
s>0:
\rho_{1/s}\!\left(\Lambda^*\setminus\{0\}\right)
\le\varepsilon
\right\}.
}
$$

其中

$$
\rho_{1/s}\!\left(\Lambda^*\setminus\{0\}\right)
=
\sum_{\substack{y\in\Lambda^*\\y\ne0}}
e^{-\pi s^2\|y\|^2}.
$$

因此，$\eta_\varepsilon(\Lambda)$ 表示：为了把**所有非零对偶向量的高斯总质量**压到 $\varepsilon$ 以下，原空间中的高斯尺度 $s$ 至少需要多大。

随着 $s$ 增大，对偶侧尺度 $1/s$ 减小，上式连续、严格递减，并从无穷大趋于零，因此最小值存在。定义见 [Regev，Fall 2004，最坏情况到平均情况归约讲义，§2，PDF 第 4 页，Definition 6](https://cims.nyu.edu/~regev/teaching/lattices_fall_2004/ln/averagecase.pdf)。

由于零向量贡献恒为 $1$，定义中的条件也可写成

$$
\rho_{1/s}(\Lambda^*)\le 1+\varepsilon.
$$

## 2. 超过平滑参数后，高斯总质量近似恒定

第十篇已经得到：对任意中心 $c\in\mathbb R^n$，

$$
\left|
\frac{\det(\Lambda)}{s^n}\rho_{s,c}(\Lambda)-1
\right|
\le
\rho_{1/s}\!\left(\Lambda^*\setminus\{0\}\right).
$$

因此，只要 $s\ge\eta_\varepsilon(\Lambda)$，就有

$$
\boxed{
(1-\varepsilon)\frac{s^n}{\det(\Lambda)}
\le
\rho_{s,c}(\Lambda)
\le
(1+\varepsilon)\frac{s^n}{\det(\Lambda)}
\qquad
\text{对所有 }c\in\mathbb R^n.
}
$$

这是对所有中心同时成立的**相对误差界**。其主项为

$$
\frac{s^n}{\det(\Lambda)}
=
\text{高斯函数的总积分}
\times
\text{格点的平均密度}.
$$

当 $c=0$ 时，对偶展开中的各项均为正，第一条误差界取等号。因此，平滑参数恰好刻画了上述“对所有中心的相对误差不超过 $\varepsilon$”所需的最小尺度。

对离散高斯

$$
D_{\Lambda,s,c}(x)
=
\frac{\rho_{s,c}(x)}{\rho_{s,c}(\Lambda)}
$$

而言，这意味着其归一化常数可以统一估计为 $s^n/\det(\Lambda)$。各格点的概率仍按到中心的距离衰减。

这一质量估计也可由 [Micciancio《The Gaussians Distribution》，Fall 2019，§6，PDF 第 10–11 页，Lemma 15](https://cseweb.ucsd.edu/classes/fa19/cse206A-a/LecGaussian.pdf) 通过缩放得到。

## 3. 为什么称为“平滑”

考虑连续高斯随机变量 $X$，其密度为

$$
f_{s,0}(x)=\frac{\rho_s(x)}{s^n}.
$$

将 $X$ 对格取模，即选择唯一的

$$
T\in\mathcal P(B)=B[0,1)^n,
\qquad
X-T\in\Lambda.
$$

对 $t\in\mathcal P(B)$，所有 $t+v$、$v\in\Lambda$ 都映射到 $t$，因此 $T$ 的密度为

$$
p_s(t)
=
\frac{1}{s^n}\sum_{v\in\Lambda}\rho_s(t+v)
=
\frac{\rho_{s,-t}(\Lambda)}{s^n}.
$$

基本区域上的均匀分布具有密度

$$
u(t)=\frac{1}{\det(\Lambda)}.
$$

当 $s\ge\eta_\varepsilon(\Lambda)$ 时，上一节的质量估计给出

$$
|p_s(t)-u(t)|
\le
\frac{\varepsilon}{\det(\Lambda)}.
$$

于是，两者的统计距离满足

$$
\boxed{
\Delta(p_s,u)
=
\frac12
\int_{\mathcal P(B)}
|p_s(t)-u(t)|\,dt
\le
\frac{\varepsilon}{2}.
}
$$

这就是“平滑”的概率含义：**足够宽的连续高斯对格取模后，在基本区域上接近均匀分布。** 这一结论见 [Regev，Fall 2004，§2，PDF 第 3–4 页，Lemma 5](https://cims.nyu.edu/~regev/teaching/lattices_fall_2004/ln/averagecase.pdf)。

这里接近均匀的是连续高斯取模后的分布。无限格上的离散高斯仍然是一个按距离赋权的离散分布。

## 4. 两个基本性质

**误差要求越严格，平滑参数越大。**

由定义直接得到

$$
0<\varepsilon_1\le\varepsilon_2<1
\quad\Longrightarrow\quad
\eta_{\varepsilon_1}(\Lambda)
\ge
\eta_{\varepsilon_2}(\Lambda).
$$

**格整体放大，平滑参数同比放大。**

对任意 $a>0$，

$$
\boxed{
\eta_\varepsilon(a\Lambda)
=
a\,\eta_\varepsilon(\Lambda).
}
$$

这是因为 $(a\Lambda)^*=a^{-1}\Lambda^*$，所以

$$
\rho_{1/s}\!\left((a\Lambda)^*\setminus\{0\}\right)
=
\sum_{\substack{y\in\Lambda^*\\y\ne0}}
e^{-\pi(s/a)^2\|y\|^2}.
$$

缩放性质也说明：平滑参数与格向量长度具有相同的尺度。

## 5. 与格几何参数的关系

### 5.1 由最短对偶向量得到下界

取最短非零对偶向量 $y$，则 $y$ 与 $-y$ 已贡献

$$
\rho_{1/s}\!\left(\Lambda^*\setminus\{0\}\right)
\ge
2e^{-\pi s^2\lambda_1(\Lambda^*)^2}.
$$

要求总质量不超过 $\varepsilon$，必然要求右侧也不超过 $\varepsilon$。因此

$$
\boxed{
\eta_\varepsilon(\Lambda)
\ge
\frac{1}{\lambda_1(\Lambda^*)}
\sqrt{\frac{\ln(2/\varepsilon)}{\pi}}.
}
$$

这个下界直接来自定义。短对偶向量会阻碍其对应的非零频率衰减，因此需要更大的高斯尺度。

但仅控制最短向量的贡献还不够：平滑参数控制的是全部非零对偶向量的总质量。

### 5.2 由第 $n$ 个逐次极小值得到上界

一个常用上界是

$$
\boxed{
\eta_\varepsilon(\Lambda)
\le
\sqrt{
\frac{\ln\!\left(2n(1+1/\varepsilon)\right)}{\pi}
}
\,\lambda_n(\Lambda).
}
$$

见 [Micciancio–Regev《Worst-case to Average-case Reductions based on Gaussian Measures》，2005-12-14 作者稿，PDF 第 11 页，Lemma 3.3](https://cims.nyu.edu/~regev/papers/average.pdf)。

这里先记结论。其证明利用 $n$ 个长度不超过 $\lambda_n(\Lambda)$ 的线性无关格向量，对对偶格按整数内积分层，再估计非零层的高斯质量。

这个上界把“存在一组短的线性无关格向量”转化成了“多大的高斯尺度足以达到给定误差”。所有对数 $\ln$ 均为自然对数。

平滑参数由此连接了三件事：**对偶格上的非零高斯质量、原格上的归一化常数，以及连续高斯取模后的均匀程度。** 后续进入 $q$ 元格与模线性方程时，这些分布估计将成为理解格密码归约的工具。

## 引用此笔记

- [00 概览与阅读路线](/knowledge/lattices-overview/)