MATLAB 概率论与数理统计

1.常用统计函数

函数名称'name'	功能简介
mean	均值
sum	总和
prod	乘积
cumsum	累积和
cumprod	累积乘积
std	标准差
var	方差
skewness	偏度
kurtosis	峰度
max	最大值
min	最小值
range	极差
cov	协方差
corrcoef	相关系数

• 基本用法

Matlab

name(A)
name(A,dim)
name(A,vicdim) % except cumsum,cumprod
name(___,nanflag) % nanflag in ['includenan','omitnan']

若A为矩阵，默认对列向量进行操作，返回与列数相同的行向量。

dim为常数，按照指定的维度，对其他维度进行操作

vecdim为向量，在指定的多个维度上进行操作

nanflag为字符串，指定任意计算过程中包括还是忽略NaN值。

• cumsum,cumprod的特殊用法

Matlab

cumsum(___,direction)
cumprod(___,direction) % direction in ['',reverse']

在指定的维度逆向运行

• std,var的特殊用法

Matlab

std(A,W)
var(A,w)
std(A,W,dim);std(A,w,vicdim)
var(A,w,dim);var(A,w,vicdim)

w为0（默认）或1。当w为0时，标准差或方差按N-1实现归一化（样本）；当w为1时，标准差或方差按N实现归一化（总体）。

• max,min的特殊用法

Matlab

M=max(___);[M,I]=max(___)
M=min(___);[M,I]=min(___)

[M,I]表示返回值保存在M中，其索引保存在I中。

Matlab

max(A,[],dim);max(A,[],vicdim)
min(A,[],dim);min(A,[],vicdim)
C=max(A,B)

C返回从A或B中提取的最大元素的数组。

• cov,corrcoef的用法

Matlab

cov(A)
corrcoef(A)

以A的列向量为不同的随机变量。

2.通用分布函数（随机数、概率密度、累积分布、逆累积分布、期望方差、参数估计）

函数名称'name'	参数说明	函数说明
'unid'	N	1,2,...,N上均匀分布（离散）
'bino'	N,P	参数为N，P的二项分布
'poiss'	lambda	参数为lambda的泊松分布
'unif'	A,B	[A,B]上均匀分布（连续）
'exp'	lambda	参数为lambda的指数分布
'norm'	mu,sigma	参数为mu，sigma的正态分布
'chi2'	N	自由度为N的卡方分布
't'	N	自由度为N的t分布
'F'	N1,N2	自由度为N1，N2的F分布

• 生成随机数

Matlab

R=namernd(A1,A2,A3,m,n)
R=random('name',A1,A2,A3,m,n)

A1,A2,A3为分布对应的参数

m,n为生成随机数的行和列

Matlab

R1=randsrc(m,n,[x;p])

R1为生成m行n列的离散随机分布，x(i)对应的概率为p(i)

• 计算概率密度函数值

Matlab

Y=namepdf(X,A1,A2,A3)
Y=pdf('name',X,A1,A2,A3)

Y为X处的概率密度函数值

• 计算累积分布函数值

Matlab

Y=namecdf(X,A1,A2,A3)
Y=cdf('name',X,A1,A2,A3)

Y为X处的累积分布函数值

• 计算逆累积分布函数值

Matlab

X=icdf('name',alpha,A1,A2,A3)

X为分布函数的下alpha分位点

• 计算期望与方差

Matlab

[M,V]=namestat(A1,A2,A3)

M,V分别为分布函数的期望与方差

• 进行参数估计（极大似然估计）

Matlab

phat=mle('name',data)
[phat,pci]=mle('name',data,alpha) % default alpha = 0.05

返回参数的估计值以及置信区间（置信度为1-alpha）

3.假设检验函数

• U检验法（方差已知，单个正态总体均值的假设检验）

Matlab

h=ztest(x,m,sigma,alpha) % default alpha = 0.05
[h,sig,ci,zval]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) % tail in [0,1,-1]

x为样本，m为待检验均值，sigma为方差

若h=0，则在显著性水平alpha下，不能拒绝原假设

若h=1，则在显著性水平alpha下，可以拒绝原假设

sig为观察值的概率，当sig为小概率时对原假设提出质疑

ci为真正均值的1-alpha置信区间，zval为统计量的值。

若原假设为\(H_0:\mu=\mu_0=m\)

若tail=0，表示备择假设为\(H_1:\mu\ne\mu_0=m\)

若tail=1，表示备择假设为\(H_1:\mu>\mu_0=m\)

若tail=-1，表示备择假设为\(H_1:\mu<\mu_0=m\)

• t检验法（方差未知，单个正态总体均值的假设检验）

Matlab

h=ttest(x,m,alpha) % default alpha = 0.05
[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail) % tail in [0,1,-1]

各参数意义同上

• Jarque-Bera检验

Matlab

[h,p]=jbtest(x)
[h,p]=jbtest(x,alpha)

检验样本是否来自正态分布

• Kolmogorov-Smirnov检验

Matlab

[h,p]=kstest(x)
[h,p]=kstest(x,'alpha',alpha)

单样本的K检验法，检验样本是否符合标准正态分布

Matlab

[h,p]=kstest2(x1,x2)
[h,p]=kstest2(x1,x2,'alpha',alpha)

双样本的K检验法，检验两个样本是否来自同一连续分布。

• Lilliefors检验

Matlab

[h,p]=lillietest(x)
[h,p]=lillietest(x,'alpha',alpha)

检验样本是否来自正态分布

4.方差分析函数

• 单因素方差分析

Matlab

[p,tbl,stats] = anova1(Y)
[p,tbl,stats] = anova1(Y,group)
anova1(Y,group,'off')

group为组别向量，长度与y的列数相同，y中对应于group中相同的值的列向量（或值）是为同一水平的一部分。

若没有group，默认y的每个列向量为单独的一个水平。

p为拒绝原假设的最低显著性水平

tbl为方差分析表

stats为储存统计信息的结构体。

'off'不弹出图表（默认弹出方差分析表）

• 双因素方差分析

Matlab

[p,tbl,stats] = anova2(Y)
[p,tbl,stats] = anova2(Y,reps)
anova2(Y,reps,'off')

reps为重复试验次数。y中的行数应为reps的整数倍，其比值为因素A的水平数。Y可以理解为reps个矩阵纵向拼接而成。每个矩阵表示一次试验的结果。此时可以探究有交互作用的双因素方差分析。

若没有reps，默认实验次数为1，此时探究无交互作用的双因素方差分析。

5.回归分析函数

• matlab [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X) [___]=regress(y,X,alpha)

y为响应数据，指定为\(n\times1\)数值矩阵。

X为预测变量矩阵，指定为\(n\times p\)数值矩阵，每一列表示不同的预测变量。

如果需要计算具有常数项的模型系数估计值，在矩阵X中加入一个由1组成成的列。y与X的行数必须相同。

b为系数估计值，为\(p\times1\)向量。

bint为系数估计值的置信边界下限和置信边界上限，为 \(p\times2\) 矩阵，第一列为置信下界，第二列为置信上界。

r为残差，为\(n\times1\)向量。

rint为用于诊断离群值的区间，为\(n\times2\)矩阵。

stats为模型统计量，包括\(R^2\)统计量，\(F\)统计量，\(p\)值。X必须包含一个由1组成的列，因为统计量的计算基于有常数项的模型假设。

• matlab stepwise(X,y) stepwise(X,y,inmodel,penter,premove)

X为自变量矩阵，每个列表示一个自变量的所有取值

y为因变量列向量，y的行数与X的行数相同。

inmodel表示最初在模型中的自变量，默认为空。

penter表示允许自变量进入模型的最大p值，即若模型外自变量的p值小于penter，则其具有显著性，penter可以理解为显著性水平alpha，默认为0.05。

premove表示允许自变量保留在模型中的最大p值，即若模型内自变量的p值大于premove，则不具有显著性，默认为0.1。

6.histcounts——直方图计数

• matlab N=histcounts(___) [N,edges]=histcounts(___) [N,edges,bin]=histcounts(___)

N为每个区间内的计数值

edges为每个区间的边缘

bin的大小与x相同，给出x中每个元素所在的计数区间

• matlab histcounts(x,nbins)

nbins为等分区间数

• matlab histcounts(x,edges)

edges=[x₁,x₂,...,x_n]

统计区间为[x₁,x₂),[x₂,x₃),...,[x_n-1,x_n]，所以N的长度比edges少1

• matlab histcounts(x,nbins,'normalization',value) % value in ['count','countdensity','cumcount','probability','pdf','cdf']

'count'(default)：计数

'countdensity'：单位宽度计数

'cumcount'：累积计数

'probability'：转换为相对概率

'pdf'：概率密度函数的估计（单位宽度+相对概率）

'cdf'：累计概率密度函数的估计

7.inpolygon——位于多边形区域内部或边缘上的点

• matlab in=inpolygon(xq,yq,xv,yv) [in,on]=inpolygon(xq,yq,xv,yv)

in,on的大小与查询点xq,yq相同，其值为逻辑值：1(true)，0(false)。

in(i)=1表示点i在多边形区域内或边缘上；on(i)=1表示点i在多边形边缘上。

• matlab xv=[x1,x2,...,xi,NaN,xi+1,...,xn] yv=[y1,y2,...,yi,NaN,yi+1,...,yn]

用NaN将多个多边形进行区分。

• matlab numel(xq(in)) % 位于多边形区域内部或边缘上的点的个数 plot(xq(in),yq(in),'.') % 绘制... plot(xq(in&~on),yq(in&~on),'.') % 绘制严格位于内部的点