使用 SAT 从约束建模到可信结果

前置知识：布尔变量、文字、子句与单位传播。不要求掌握求解器的内部实现。全文沿用同一个排班例子，区分业务变量、控制约束组的选择变量，以及每次调用的临时假设。核心缩减与 RUP 检查使用教学伪代码，依赖的接口和数据结构不展开。

从业务到 CNF 需要编码语义；从 CNF 到一次查询需要精确的永久子句和假设；从模型回到排班需要变量映射。检查器验证的是提交的具体公式与证据，业务编码本身还需要独立核对。来源：[1] §2.2；[2] §4.4.1；[4] §15.1。

本例只有两名候选人，恰好一人直接编码为一个正子句和一个负子句。更多候选人的至多一人约束需要其他编码，不能照搬“所有变量取反放在同一子句”来表达至多一人。B 允许同一人承担两班；人员负担限制由后面的可选组加入。来源：[1]；排班例子来自配套《增量 SAT 与建模实践》。

每组在本例中恰好只有一个子句；一般一组可以含多个子句。组的划分决定冲突解释的粒度。G1、G2 只限制各自最多一班，并不单独要求各自必须上一班。四组同时开启时的矛盾将在后面推导，不把相互冲突的可选要求提前当成永久背景。来源：[2] §§4.4.1.2–4.4.1.3。

s_i 与业务变量不同，只在对应组中作为负保护文字出现。若省略 s_i 的假设，也允许求解器取 s_i=0，所以不会强制开启该组；省略不意味着返回模型必定把它取为 0。普通查询显式给出正负假设以明确状态；后面的核心查询只给出保留的假设。若选择变量被用于无关约束，上述关闭解释需重新检查。来源：[2] §4.4.1.2；[3] ipasir_add、ipasir_assume。

每一步都由已开启组或背景约束进行单位传播。G1 也满足，因为甲只承担第 2 班；G4 被关闭，所以 a2=1 不违背本次要求。完整模型为业务赋值 (0,1,1,0) 与选择变量 (1,1,1,0)，满足 F 和全部 A1。来源：配套笔记的第一次查询；[3] 假设接口语义。

两次查询之间没有改变永久公式，也没有追加永久单位子句。新一次 ipasir_solve 之前需要重新提交想使用的全部假设。比如关闭全部组、令甲承担两班就能满足 F，说明第二次 UNSAT 不代表 F 无解。这里的图只用于解释这次矛盾，不是一般的 CDCL 蕴含图。

表内省略所有函数名共同的 ipasir_ 前缀。依据 2020 年比赛存档头文件：[3]。add 和 assume 从 INPUT/SAT/UNSAT 状态进入 INPUT；val 只在 SAT 状态，failed 只在 UNSAT 状态有效。读取结果后再为下次调用添加假设。这里不声称基本 IPASIR 接口直接输出证明；证明导出须使用求解器另行提供且支持该模式的接口。

F 包含背景和带保护的四组子句。因选择变量只作为各自负保护文字出现，未假设开启的组可以关闭。G1 与本例矛盾无关。一般的组核心不保证每组内部子句的粒度也极小。最小核心一定子集极小，反过来不成立。只有拿到一个核心不能直接宣布获得最小解释。来源：[2] §4.4.1.3；[3] ipasir_failed。

SolveUnder 每次仅提交给定的临时假设，不改变永久公式，也不继承上次假设。Snapshot 固定初始遍历顺序。若某项试删得到 SAT，之后只会移除更多假设，使公式更弱，所以当时的满足赋值仍然有效；一次遍历就足以验证最终核心中每项不可再删。遇到 UNKNOWN，返回 U 仍是已知不可满足的核心，但极小性尚未确认。算法最多进行 |K| 次额外调用，不保证全局最少元素或很短的总时间。依据配套《增量 SAT 与建模实践》中的缩减算法。

删除 s1 后 U={s2,s3,s4}；之后三个试删均得到 SAT，因此 U 不再变化。三次见证的业务赋值依次为 (a1,b1,a2,b2)=(0,1,0,1)、(1,0,0,1)、(0,1,1,0)。未列入试验假设的选择变量可设为 0。整个过程对同一 F 调用，不把试删时的 SAT 模型误解释为满足所有四组要求的模型。本例的具体核心大小不代表删除式算法对一般实例能保证最小。

这里的 Q1 是原始输入 F 加上本次假设作为单位子句，不只检查求解器内部简化后的数据库。给定完整赋值后，检查成本与输入文字出现总数线性相关，不意味着寻找模型也线性。若使用 Tseitin 等扩展编码，要核对辅助变量的定义与模型投影；本排班例子无需 Tseitin 辅助变量，s_i 是控制要求的选择变量。来源：[1] §2.2；[2] §4.4.1.4；[4] §15.1。

RUP 是 reverse unit propagation：否定待检查子句的每个文字，再执行普通单位传播；通过时说明当前公式蕴含该子句。此处先在 F 上验证 C*，所以它也可跨这些查询保留，而非把 s2、s3、s4 当作永久事实。对 Q2 的两步 RUP 序列，第一步仍有效，第二步在已经验证的子句和查询假设下传播到冲突。本例 Q2 本身就能由单位传播判 UNSAT，这不是最短证明，保留中间子句只为展示可复用结论与查询反证的区别。来源：[4] §15.2.2；[5] §2。

pi 是有序序列，FOR ALL 按记录顺序遍历。PropagateConflict 同时处理 Q 的单位子句和 A 的单位假设，包括相反单位或空子句的初始冲突；每轮丢弃临时赋值，已接受的子句继续保留。没有通过 RUP 规则不能推出候选不被蕴含，也不能据此宣布 Q 为 SAT。解析与传播实现未展开，伪代码不能独立运行，不接受删除或一般 RAT 步骤。来源：[4] §15.2.2；[5] §2。

RAT 添加不必保持全部模型；证明中的删除也不能简单说成保持等可满足，但整个合法反证保留了从终态无解反推初始公式无解所需的方向。LRAT 同时支持带提示的 RUP 和 RAT 步骤，形式化检查器的保证还需核对其解析、逻辑核心与执行环境范围。若独立验证核心 K，应提交 F∧所有 K 中的单位假设的证据；failed 标记本身不是已经独立验证的证明。本演示的结论不是某一实现的通用正确性声明。来源：[4] §§15.2.4、15.2.5、15.5；[5] §§3–6。

[1]、[2]、[4] 均使用 2021 年第二版 Handbook 的章节编号。[3] 2020 指接口存档年份，不是 IPASIR 最初提出年份；本演示核对了 add、assume、solve、val、failed 的注释与状态约定。[5] 出版信息采用 CADE 2017，作者稿只按章节定位。排班模型、核心缩减和 RUP 推演是本专题的教学例子。