整理日期：2026-10-16。 前置笔记：01 格与格基、02 基本区域、格行列式与正交化。算法联系见 06 Babai 最近平面算法与近似 CVP。
本篇先讨论满秩格：
其中 \(B\) 可逆，基向量按列排列。
记 \(\Lambda^*\) 为对偶格，对偶基记为 \(D=(d_1,\ldots,d_n)\)；\(b_i^*\) 仍沿用前文的 Gram–Schmidt 正交化记号。
1. 对偶格与对偶基#
对偶格定义为
$$ \boxed{ \Lambda^*#
\left{ y\in\mathbb R^n: \langle x,y\rangle\in\mathbb Z \quad\text{对所有 }x\in\Lambda \right}. } $$
也就是说，对偶向量与每一个原格向量的内积都是整数。
判断一个向量是否属于对偶格，只需检查它与各个基向量的内积：
原因是任意格点都可以写成 \(x=Bz\)，其中 \(z\in\mathbb Z^n\)，于是
由此直接得到
矩阵 \(D\) 称为 \(B\) 的对偶基，满足
因此，\(d_j\) 与其余的 \(b_i\) 正交，与对应的 \(b_j\) 内积为 \(1\)。这个条件约束两组基之间的配对关系，\(d_1,\ldots,d_n\) 本身一般并不两两正交。见 Regev《Lecture 8: Dual Lattices》，Fall 2004，第 1–2 页，Definition 1–2、Claim 1。
对偶基还有一个直接作用：通过内积读出原基坐标。若
则
于是，同一个格可以用两种方式描述：
$$ \Lambda=B\mathbb Z^n#
{x\in\mathbb R^n:D^Tx\in\mathbb Z^n}. $$
前一种写法用整数系数组合生成格点；后一种写法用整数内积约束刻画格点。见 Micciancio《The dual lattice》，Fall 2017，§1，PDF 第 2–3 页，Theorem 2 及其后说明。
2. 基本性质#
对偶具有对称性：
格行列式互为倒数：
在满秩情形，这两条可以直接由 \(D=B^{-T}\) 推出。第二条联系的是基本区域的体积，并不表示对应基向量的长度逐个互为倒数。见 Regev，第 2 页，Claim 2–3。
此外，缩放和包含关系分别满足
以及
其中 \(\Lambda_1,\Lambda_2\) 都是 \(\mathbb R^n\) 中的满秩格。
包含关系反向，是因为原格中的向量越多，对整数内积的要求就越多，满足条件的对偶向量集合越小。见 Micciancio，§1，PDF 第 2 页，Exercise 2–3。
3. 对偶向量、格点分层与最近平面#
取对偶基的最后一个向量 \(d_n\)。对任意格点 \(x=Bz\)，
因此，格点按照最后一个整数坐标，分布在一组平行超平面上：
每一层中的格点恰好是
$$ \Lambda\cap H_k#
k b_n+\mathcal L(b_1,\ldots,b_{n-1}). $$
这些平面的法向量为 \(d_n\)，相邻平面间距为
这就是第六篇使用的分层。对偶基与正交化之间满足
所以
于是，Babai 算法第一轮的选层操作也可以写成
$$ c_n#
\operatorname{round}\bigl(\langle t,d_n\rangle\bigr)#
\operatorname{round} \left( \frac{\langle t,b_n^\rangle}{|b_n^|^2} \right). $$
对偶基给出了整数层编号，正交化给出了计算层间距离所需的方向和长度。这里的公式针对最后一个向量；一般不能直接把每个 \(d_i\) 都写成 \(b_i^*/\|b_i^*\|^2\)。见 Micciancio，§3，PDF 第 6 页，Corollary 6 及其后的分层解释。
4. 一个二维例子#
沿用第二篇和第六篇的基：
其对偶基为
$$ D=B^{-T}#
\begin{pmatrix} \frac12&0\ -\frac14&\frac12 \end{pmatrix}. $$
因此
若原格点写成
则
同时，
由 \(d_2=(0,\tfrac12)\)，整数等值平面在二维中表现为直线
相邻直线间距为 \(2\)，与第六篇中的分层一致。
第二篇的正交化向量是
而这里的对偶基是 \(d_1,d_2\)。两者是不同的对象：正交化用于分解正交方向，对偶基用于建立整数内积配对。
原基把整数坐标映射为格点，对偶基通过内积读回这些坐标；这也是用对偶格理解格点分层的出发点。