格与格基#

#格与格基

设 $B=[b_1,\ldots,b_n]\in\mathbb R^{m\times n}$ 的列向量线性无关，则

$$\mathcal L(B)=\{Bz:z\in\mathbb Z^n\}$$

称为由 $B$ 生成的格，$B$ 是该格的一组基。格是点集，格基是生成它的一种表示。

• $n$ 为格的秩，$m$ 为环境维数；$n=m$ 时称为满秩格。
• 整数限制针对组合系数，基向量和格点的坐标不必为整数。
• 线性空间 $\operatorname{span}(B)=\{Bx:x\in\mathbb R^n\}$ 允许实数系数，格只允许整数系数。
• 基向量线性无关，因此每个格点在给定基下的整数坐标唯一。

不同资料对“维数”的用法不一致，本文统一区分“秩”与“环境维数” [1, p. 1; 2, p. 2]。

#等价格基与换基

同一个格可以有不同的基。对列满秩矩阵 $B,B'\in\mathbb R^{m\times n}$，

$$\mathcal L(B')=\mathcal L(B) \iff B'=BU,\quad U\in\mathbb Z^{n\times n},\quad \det U=\pm1.$$

这样的整数矩阵 $U$ 称为幺模矩阵，其逆矩阵仍为整数矩阵。因此新旧基能相互通过整数线性组合得到，生成的格不变 [1, p. 3; 2, pp. 4, 7–8]。

在列向量作为基的约定下，以下操作保持格不变：

1. 交换两个基向量。
2. 将一个基向量取反。
3. $b_i\leftarrow b_i+k b_j$，其中 $k\in\mathbb Z$、$i\ne j$。

任意两组等价格基都可以通过上述操作相互转换。后续格基约化正是在保持格不变的前提下，改善基向量的性质 [1, pp. 3–4; 2, sec. 2]。

#一个必要的辨析

张成相同的实线性空间，不代表生成相同的格。

例如，$I_2$ 与 $\operatorname{diag}(2,1)$ 都张成 $\mathbb R^2$，但分别生成 $\mathbb Z^2$ 与 $2\mathbb Z\times\mathbb Z$。后者无法通过整数系数生成 $(1,0)^T$。

因此，一组向量即使线性无关且属于某个给定格，也未必是该格的基；还需要能够生成该格的全部点。

#阅读位置

• 格由格基向量的整数线性组合生成，幺模换基保持格不变 [1, pp. 1, 3–4]。
• 格基的定义与等价变换可以通过整数线性组合和初等列操作刻画 [2, pp. 2, 4–5, 7–8]。

#参考文献