整理日期：2026-10-16。
前置笔记：02 基本区域、格行列式与正交化、07 对偶格与对偶基、09 高斯函数与离散高斯分布。
设 \(\Lambda=\mathcal L(B)\subseteq\mathbb R^n\) 为满秩格，\(\Lambda^*=B^{-\mathsf T}\mathbb Z^n\)。
以下可取 \(f\) 为 Schwartz 函数，即函数及其各阶导数都比任意负幂更快地衰减。高斯函数满足这一条件，后面的求和、积分和傅里叶展开均可使用。
1. 傅里叶变换#
采用如下约定：
$$ \boxed{ \widehat f(y)#
\int_{\mathbb R^n} f(x)e^{-2\pi i\langle x,y\rangle},dx, \qquad y\in\mathbb R^n. } $$
其中 \(i^2=-1\)，\(y\) 表示频率。特别地，
即零频值等于函数的总积分。
后面用到两个性质：
$$ g(x)=f(x-c) \quad\Longrightarrow\quad \widehat g(y)#
e^{-2\pi i\langle c,y\rangle}\widehat f(y); $$
平移引入相位因子；空间中的伸缩对应频率尺度的反向变化。上述约定与性质见 Regev《Lecture 9: Fourier Transform》，Fall 2004，PDF 第 3 页，Definition 3 与 Theorem 3。
2. 高斯函数的傅里叶变换#
沿用第九篇的记号：
高斯函数的一个关键性质是
一维情形可以用简短推导说明：对 \(\widehat\rho(y)\) 求导，再分部积分，得到
$$ \frac{d}{dy}\widehat\rho(y)#
-2\pi y,\widehat\rho(y), \qquad \widehat\rho(0)=1. $$
因此 \(\widehat\rho(y)=e^{-\pi y^2}\)。利用各坐标的乘积分解，可以推广到 \(n\) 维。
再应用伸缩性质，得到
$$ \boxed{ \widehat{\rho_s}(y)#
s^n e^{-\pi s^2|y|^2}#
s^n\rho_{1/s}(y). } $$
所以，高斯函数经过傅里叶变换后仍是高斯函数，尺度由 \(s\) 变为 \(1/s\)，并带有系数 \(s^n\)。该结论见 Regev，PDF 第 3 页，Example 3。
对于第九篇的归一化密度 \(f_{s,0}=\rho_s/s^n\)，相应地有 \(\widehat f_{s,0}=\rho_{1/s}\)。
3. 为什么频率落在对偶格上#
考虑一个基本振荡函数
要求它沿任意格向量 \(v\in\Lambda\) 平移后保持不变，即
等价于
这个条件对所有 \(v\in\Lambda\) 成立，恰好意味着 \(y\in\Lambda^*\)。
因此，与格周期相容的频率，正好组成对偶格。
对于一般函数 \(f\)，其傅里叶变换仍定义在整个 \(\mathbb R^n\) 上；这里的离散频率结构来自函数的格周期性。
4. Poisson 求和公式#
对满秩格 \(\Lambda\)，Poisson 求和公式为
$$ \boxed{ \sum_{x\in\Lambda}f(x)#
\frac{1}{\det(\Lambda)} \sum_{y\in\Lambda^*}\widehat f(y). } $$
它把原格上的函数值求和，转化为对偶格上的傅里叶变换值求和。系数也可写为 \(\det(\Lambda^*)=1/\det(\Lambda)\)。见 Micciancio《The Gaussians Distribution》，Fall 2019，§4，PDF 第 7–8 页，Theorem 5 与 Corollary 6。
证明的关键是将 \(f\) 周期化：
此时 \(F(t+v)=F(t)\)，所以它的傅里叶级数以 \(\Lambda^*\) 为频率集合。对 \(y\in\Lambda^*\)，记对应系数为 \(a_y\)，则
第二步使用了两个事实：基本区域的格平移覆盖整个空间；对偶条件保证平移格向量时相位不变。
于是
$$ F(t)#
\frac{1}{\det(\Lambda)} \sum_{y\in\Lambda^*} \widehat f(y)e^{2\pi i\langle t,y\rangle}. $$
令 \(t=0\)，便得到 Poisson 求和公式。
5. 应用于格上的高斯总质量#
将 \(f=\rho_s\) 代入，得到
$$ \boxed{ \rho_s(\Lambda)#
\frac{s^n}{\det(\Lambda)} \rho_{1/s}(\Lambda^*). } $$
这里 \(\rho_s(A)=\sum_{x\in A}\rho_s(x)\)。将对偶格中的零向量单独取出，可写成
$$ \rho_s(\Lambda)#
\frac{s^n}{\det(\Lambda)} \left( 1+ \sum_{\substack{y\in\Lambda^*\y\ne0}} e^{-\pi s^2|y|^2} \right). $$
这是一个精确等式。零频项贡献 \(s^n/\det(\Lambda)\)，其余贡献由非零对偶向量控制。
当非零项的总和足够小时，就有
这个主项也符合体积直觉：高斯函数的总积分为 \(s^n\)，格点的平均密度为 \(1/\det(\Lambda)\)。
6. 平移中心与下一篇的联系#
第九篇定义了 \(\rho_{s,c}(x)=\rho_s(x-c)\)。利用平移性质，
$$ \rho_{s,c}(\Lambda)#
\frac{s^n}{\det(\Lambda)} \sum_{y\in\Lambda^*} \rho_{1/s}(y)e^{-2\pi i\langle c,y\rangle}. $$
去掉零频项，再利用相位因子的模为 \(1\)，得到
右侧与中心 \(c\) 无关。因此，只要它不超过 \(\varepsilon\)，所有中心对应的高斯总质量相对于 \(s^n/\det(\Lambda)\) 的误差都不超过 \(\varepsilon\)。
这种展开与估计见 Regev 的最坏情况到平均情况归约讲义，§2，PDF 第 3–4 页，Lemma 5 的证明。
下一篇将通过平滑参数描述：为了让非零对偶向量的高斯总质量足够小，尺度 \(s\) 需要达到多大。