基本区域、格行列式与正交化#

前置笔记：格与格基。

设 $B=[b_1,\ldots,b_n]\in\mathbb R^{m\times n}$ 列满秩，$\Lambda=\mathcal L(B)$。以下使用欧氏内积与范数，体积均指 $\operatorname{span}(B)$ 中的 $n$ 维体积。

#基本区域

基 $B$ 对应的基本平行多面体为

$$\mathcal P(B)=\{Bx:x\in[0,1)^n\}.$$

它沿所有格向量平移后，构成整个线性空间的不交划分：

$$\operatorname{span}(B) =\bigsqcup_{v\in\Lambda}\bigl(v+\mathcal P(B)\bigr).$$

半开区间保证边界点只属于一个区域。这可以直接从坐标分解 $x=\lfloor x\rfloor+(x-\lfloor x\rfloor)$ 理解。

基本区域并不唯一；$\mathcal P(B)$ 是其中一种，其形状依赖所选的基 [1, p. 2; 2, pp. 10–11]。

#格行列式

格行列式是基本区域的体积，也是格自身的不变量：

$$\det\Lambda :=\operatorname{vol}_n\bigl(\mathcal P(B)\bigr) =\sqrt{\det(B^TB)}.$$

当 $m=n$ 时，$\det\Lambda=|\det B|$。

换成等价格基 $B'=BU$，其中 $U$ 为幺模矩阵，有

$$\det(B'^TB') =(\det U)^2\det(B^TB) =\det(B^TB).$$

因此，基本区域的形状可以改变，体积保持不变。

$\det\Lambda$ 的倒数刻画单位体积内的渐近格点数密度；比较疏密时，应在相同维数和尺度下理解 [1, p. 4; 2, pp. 12–13]。

#Gram–Schmidt 正交化

定义

$$b_i^* =b_i-\sum_{j<i}\mu_{i,j}b_j^*, \qquad \mu_{i,j} =\frac{\langle b_i,b_j^*\rangle}{\|b_j^*\|^2}.$$

$b_i^*$ 是 $b_i$ 在前面基向量所张空间的正交补上的分量，满足：

• $b_1^*,\ldots,b_n^*$ 两两正交，但不要求长度为 $1$。
• 每个前缀张成的空间保持不变： $\operatorname{span}(b_1,\ldots,b_i)=\operatorname{span}(b_1^*,\ldots,b_i^*)$。
• 结果依赖基及其排列顺序。
• $b_i^*$ 通常不属于原格，故正交化通常不是保持原格不变的换基。

最后一条与第一篇的幺模换基条件相呼应：Gram–Schmidt 使用的投影系数一般不是整数 [1, pp. 4–5; 2, pp. 8–10]。

#二维例子：扣除投影，保留垂直分量

取 $b_1=(2,0)^T$、$b_2=(1,2)^T$，则 $b_1^*=b_1$，且

$$\mu_{2,1} =\frac{\langle b_2,b_1^*\rangle}{\|b_1^*\|^2} =\frac12, \qquad b_2^* =b_2-\frac12b_1^* =\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}.$$

也就是把 $b_2$ 分解为沿 $b_1$ 的投影 $(1,0)^T$ 与垂直分量 $(0,2)^T$，再扣除前者。

• 正交化通常改变格。 $b_2^*=-\tfrac12b_1+b_2$。由于原基下坐标唯一且包含非整数系数，$b_2^*\notin\mathcal L(B)$，所以 $\mathcal L(B^*)\ne\mathcal L(B)$。
• 正交化保持基本区域体积。 原基对应平行四边形的面积为 $|\det B|=4$；正交化后矩形的面积为 $\|b_1^*\|\|b_2^*\|=2\cdot2=4$。体积相同并不意味着格相同。

向量取自讲义的二维例子 [2, p. 9]。上述投影计算与格的比较由这些向量直接得到。

#正交化与格行列式的联系

$$\det\Lambda =\operatorname{vol}_n\bigl(\mathcal P(B)\bigr) =\sqrt{\det(B^TB)} =\prod_{i=1}^{n}\|b_i^*\|.$$

简短推导：写成 $B=B^*T$，其中 $T$ 为对角元全为 $1$ 的上三角矩阵，则

$$\det(B^TB) =\det\bigl((B^*)^TB^*\bigr) =\prod_{i=1}^{n}\|b_i^*\|^2.$$

各个 $\|b_i^*\|$ 随基变化，但它们的乘积保持不变。由 $\|b_i^*\|\leq\|b_i\|$，还得到 Hadamard 不等式：

$$\det\Lambda\leq\prod_{i=1}^{n}\|b_i\|,$$

等号当且仅当原基向量两两正交 [1, p. 5; 2, pp. 10, 12–13]。

#阅读位置

• 基本区域的体积给出格行列式，Gram–Schmidt 正交化将其表示为正交分量长度的乘积 [1, pp. 2, 4–5]。
• 正交化把基向量分解到正交方向，格的体积由这些正交分量共同决定 [2, pp. 8–13]。

#参考文献