整理日期：2026-10-16。
前置笔记：09 高斯函数与离散高斯分布、10 傅里叶变换与 Poisson 求和公式。
设 \(\Lambda=\mathcal L(B)\subseteq\mathbb R^n\) 为满秩格，使用欧氏范数。本文取 \(0<\varepsilon<1\)，沿用高斯函数记号
1. 平滑参数的定义#
格 \(\Lambda\) 的 \(\varepsilon\)-平滑参数定义为
$$ \boxed{ \eta_\varepsilon(\Lambda)#
\min\left{ s>0: \rho_{1/s}!\left(\Lambda^*\setminus{0}\right) \le\varepsilon \right}. } $$
其中
$$ \rho_{1/s}!\left(\Lambda^*\setminus{0}\right)#
\sum_{\substack{y\in\Lambda^*\y\ne0}} e^{-\pi s^2|y|^2}. $$
因此，\(\eta_\varepsilon(\Lambda)\) 表示：为了把所有非零对偶向量的高斯总质量压到 \(\varepsilon\) 以下，原空间中的高斯尺度 \(s\) 至少需要多大。
随着 \(s\) 增大，对偶侧尺度 \(1/s\) 减小，上式连续、严格递减，并从无穷大趋于零，因此最小值存在。定义见 Regev，Fall 2004，最坏情况到平均情况归约讲义，§2，PDF 第 4 页，Definition 6。
由于零向量贡献恒为 \(1\)，定义中的条件也可写成
2. 超过平滑参数后，高斯总质量近似恒定#
第十篇已经得到：对任意中心 \(c\in\mathbb R^n\)，
因此，只要 \(s\ge\eta_\varepsilon(\Lambda)\)，就有
这是对所有中心同时成立的相对误差界。其主项为
$$ \frac{s^n}{\det(\Lambda)}#
\text{高斯函数的总积分} \times \text{格点的平均密度}. $$
当 \(c=0\) 时，对偶展开中的各项均为正，第一条误差界取等号。因此，平滑参数恰好刻画了上述“对所有中心的相对误差不超过 \(\varepsilon\)”所需的最小尺度。
对离散高斯
$$ D_{\Lambda,s,c}(x)#
\frac{\rho_{s,c}(x)}{\rho_{s,c}(\Lambda)} $$
而言，这意味着其归一化常数可以统一估计为 \(s^n/\det(\Lambda)\)。各格点的概率仍按到中心的距离衰减。
这一质量估计也可由 Micciancio《The Gaussians Distribution》，Fall 2019，§6，PDF 第 10–11 页，Lemma 15 通过缩放得到。
3. 为什么称为“平滑”#
考虑连续高斯随机变量 \(X\)，其密度为
将 \(X\) 对格取模，即选择唯一的
对 \(t\in\mathcal P(B)\)，所有 \(t+v\)、\(v\in\Lambda\) 都映射到 \(t\)，因此 \(T\) 的密度为
$$ p_s(t)#
\frac{1}{s^n}\sum_{v\in\Lambda}\rho_s(t+v)#
\frac{\rho_{s,-t}(\Lambda)}{s^n}. $$
基本区域上的均匀分布具有密度
当 \(s\ge\eta_\varepsilon(\Lambda)\) 时，上一节的质量估计给出
于是，两者的统计距离满足
$$ \boxed{ \Delta(p_s,u)#
\frac12 \int_{\mathcal P(B)} |p_s(t)-u(t)|,dt \le \frac{\varepsilon}{2}. } $$
这就是“平滑”的概率含义：足够宽的连续高斯对格取模后，在基本区域上接近均匀分布。 这一结论见 Regev，Fall 2004，§2，PDF 第 3–4 页，Lemma 5。
这里接近均匀的是连续高斯取模后的分布。无限格上的离散高斯仍然是一个按距离赋权的离散分布。
4. 两个基本性质#
误差要求越严格，平滑参数越大。
由定义直接得到
格整体放大，平滑参数同比放大。
对任意 \(a>0\)，
$$ \boxed{ \eta_\varepsilon(a\Lambda)#
a,\eta_\varepsilon(\Lambda). } $$
这是因为 \((a\Lambda)^*=a^{-1}\Lambda^*\)，所以
$$ \rho_{1/s}!\left((a\Lambda)^*\setminus{0}\right)#
\sum_{\substack{y\in\Lambda^*\y\ne0}} e^{-\pi(s/a)^2|y|^2}. $$
缩放性质也说明：平滑参数与格向量长度具有相同的尺度。
5. 与格几何参数的关系#
5.1 由最短对偶向量得到下界#
取最短非零对偶向量 \(y\)，则 \(y\) 与 \(-y\) 已贡献
要求总质量不超过 \(\varepsilon\)，必然要求右侧也不超过 \(\varepsilon\)。因此
这个下界直接来自定义。短对偶向量会阻碍其对应的非零频率衰减，因此需要更大的高斯尺度。
但仅控制最短向量的贡献还不够：平滑参数控制的是全部非零对偶向量的总质量。
5.2 由第 \(n\) 个逐次极小值得到上界#
一个常用上界是
这里先记结论。其证明利用 \(n\) 个长度不超过 \(\lambda_n(\Lambda)\) 的线性无关格向量，对对偶格按整数内积分层，再估计非零层的高斯质量。
这个上界把“存在一组短的线性无关格向量”转化成了“多大的高斯尺度足以达到给定误差”。所有对数 \(\ln\) 均为自然对数。
平滑参数由此连接了三件事：对偶格上的非零高斯质量、原格上的归一化常数，以及连续高斯取模后的均匀程度。 后续进入 \(q\) 元格与模线性方程时，这些分布估计将成为理解格密码归约的工具。