整理日期：2026-10-16。
前置笔记：01 格与格基、02 基本区域、格行列式与正交化。
设 \(\Lambda\subseteq\mathbb R^n\) 是满秩格，使用欧氏范数。
此前主要讨论格点的位置和长度。现在给每个格点赋予随距离衰减的权重，再将权重归一化，得到格上的概率分布。
1. 高斯函数与尺度参数#
给定尺度参数 \(s>0\) 和中心 \(c\in\mathbb R^n\)，定义高斯权重
$$ \boxed{ \rho_{s,c}(x)#
\exp\left(-\pi\frac{|x-c|^2}{s^2}\right). } $$
常用简记为
中心处的权重为 \(1\)。距离中心越远，权重越小；\(s\) 越大，权重随距离的衰减越慢。
这里沿用 Regev 的尺度约定，并加入中心平移。零中心的 \(\rho_s\) 记号见 Regev《Lecture 9: Fourier Transform》，Fall 2004，PDF 第 3 页，Example 3。
2. 连续高斯分布与标准差#
高斯函数满足
因此，对它进行归一化，得到连续概率密度
$$ \boxed{ f_{s,c}(x)#
\frac{1}{s^n} \exp\left(-\pi\frac{|x-c|^2}{s^2}\right). } $$
零中心时的归一化形式见 Regev 的最坏情况到平均情况归约讲义，§2，PDF 第 2 页；平移中心不改变积分。
与通常的正态分布记号比较可得
所以，每个坐标的标准差为
这个换算可以直接通过比较指数中的 \(\pi/s^2\) 与 \(1/(2\sigma^2)\) 得到。阅读不同文献时，需要先核对作者采用的是尺度参数 \(s\)，还是标准差 \(\sigma\)。
3. 格上的离散高斯分布#
将高斯权重限制在格点上，定义其总质量
$$ \rho_{s,c}(\Lambda)#
\sum_{y\in\Lambda} \exp\left(-\pi\frac{|y-c|^2}{s^2}\right). $$
这个和是有限的正数。格上的离散高斯分布记为 \(D_{\Lambda,s,c}\)，其概率为
$$ \boxed{ \Pr_{X\sim D_{\Lambda,s,c}}[X=x]#
\frac{\rho_{s,c}(x)} {\rho_{s,c}(\Lambda)}, \qquad x\in\Lambda. } $$
格外点的概率为 \(0\)。当 \(c=0\) 时，简记为 \(D_{\Lambda,s}\)。
这里的关键是：连续分布通过积分归一化，离散分布通过格点求和归一化。 分母 \(\rho_{s,c}(\Lambda)\) 取决于格、尺度和中心，通常不能替换成 \(s^n\)。
零中心、单位尺度的定义见 Micciancio《The Gaussians Distribution》，Fall 2019，PDF 第 7 页，Definition 4；上式按相同方式加入尺度和中心。
4. 中心、平移与几个必要的区分#
由定义可以直接得到：
- 支撑集合由格决定。 改变 \(c\) 会改变各格点的概率，输出仍然属于 \(\Lambda\)。
- \(c\) 是权重中心，一般不等于离散分布的均值。 当 \(c=0\) 时，由 \(x\) 与 \(-x\) 的对称性，有 \(\mathbb E[X]=0\)；更一般地，\(c\in\Lambda\) 时有 \(\mathbb E[X]=c\)。
- 连续分布的标准差公式不能直接套用于离散分布。 离散高斯的各坐标方差还受到格点分布和中心位置的影响。
把中心平移到原点时，支撑集合也会相应平移：
用同样的归一化方式定义平移格上的离散高斯，则
还需要区分离散高斯与“连续高斯取整”。以整数格为例，连续样本取整到整数 \(k\) 的概率，是密度在区间 \([k-\tfrac12,k+\tfrac12)\) 上的积分；离散高斯则按整数点 \(k\) 处的高斯权重赋予概率，两者通常不同。
5. 一个一维例子#
取
则
$$ \Pr[X=k]#
\frac{e^{-\pi k^2}} {\displaystyle\sum_{j\in\mathbb Z}e^{-\pi j^2}}. $$
归一化因子为
$$ \rho_1(\mathbb Z)#
1+2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}+\cdots \approx1.08643. $$
由此算得
这个例子中，大部分概率集中在 \(0\) 和相邻整数。增大 \(s\) 后，较远整数相对于中心的权重上升，分布随之变宽。
6. 与后续内容的联系#
离散高斯由 \(\Lambda,s,c\) 决定，与选择哪组格基无关。定义目标分布之后，如何高效采样还需要单独的算法与条件。
接下来关注的量是格上的高斯总质量，例如
下一篇通过傅里叶变换和 Poisson 求和公式，将原格上的这类求和与对偶格联系起来；随后再用平滑参数描述高斯尺度足够大时的行为。